PCA 工作原理

主成分分析 (PCA) 是一种自主型机器学习算法，它在数据集内减少维数 (特征个数)，同时仍保留尽可能多的信息。

PCA 通过查找称为成分的新特征集减少维数，这些功能是原始特征的复合体，但彼此不相关。第一个成分在数据中可能存在最大的可变性，第二个成分是第二个最易变的，以此类推。

它是一种自主型维数减少算法。在自主学习中，不使用可能与训练数据集中的对象相关联的标签。

假定输入中的矩阵包含行 x_1,…,x_n ，每个行具有维度 1 * d，数据将被分成小批量行，并分布到训练节点（工作线程）中。然后，每个工作线程计算其数据的摘要。然后在计算结束时，不同工作线程的摘要统一为一个解决方案。

模式

Amazon SageMaker PCA 算法使用两种模式之一来计算这些摘要，具体取决于情况：

常规：针对具有稀疏数据以及适度数量的观察和特征的数据集。
随机：针对具有大量观察和特征的数据集。此模式使用近似算法。

作为算法的最后一步，它在统一解决方案上执行单值分解，然后将会从中导出主成分。

模式 1：定期

工作线程联合计算 $\sum x_i^T x_i$ 和 $\sum x_i$ 。

注意

由于 x_i 为 1 * d 个行向量， x_i^T x_i 是一个矩阵（非标量）。在代码中使用行向量可以使我们获得高效的缓存。

协方差矩阵的计算方式为 $\sum x_i^T x_i - (1/n) (\sum x_i)^T \sum x_i$ ，其最前面的 num_components 个奇异向量构成模型。

注意

如果 subtract_mean 是 False，我们会避免计算和减去 $\sum x_i$ 。

当满足以下条件时使用此算法：向量的维度 d 足够小，以致 d^2 可以放入内存中。

模式 2：随机

当输入数据集中的特征数量较大时，我们使用一个方法来近似计算协方差指标。对于维度 b * d 的每个小批量 X_t ，我们随机初始化一个我们与每个小批量相乘的 (num_components + extra_components) * b 矩阵，从而创建一个 (num_components + extra_components) * d 矩阵。这些矩阵的总和由工作线程计算，服务器在最终 (num_components + extra_components) * d 矩阵上执行 SVD。其右上方的 num_components 单向量是输入矩阵的顶部单向量的近似值。

指定 $\ell$ = num_components + extra_components。假定一个维度 b * d 的小批量 X_t ，工作线程会提取维度 $\ell * b$ 的随机矩阵 H_t 。根据环境是使用 GPU 还是 CPU 以及维度大小，矩阵是随机签名矩阵 (其中每个条目是 +-1) 或 FJLT (快速 Johnson Lindenstrauss 转换；有关信息，请参阅 FJLT 转换跟进文章)。随后工作线程会计算 H_t X_t 并维护 $B = \sum H_t X_t$ 。工作线程还维护 h^T 、 H_1,..,H_T （T 为小批量的总数）的列总和以及 s（所有输入行的总和）。在处理完整个数据碎片后，工作线程会向服务器发送 B、h、s 和 n (输入行的数量)。

将不同输入对服务器表示为 B^1, h^1, s^1, n^1,… 。服务器会计算 B、h、s、n 的各自输入的总和。然后，它计算 C = B – (1/n) h^T s ，并查找其奇异值分解。C 的右上单向量和单值被用作解决问题的近似方法。

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主成分分析 (PCA) 算法

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